o homem que calculava - malba tahan

Você gosta de matemática? então não pode deixar de ler "o homem que calculava" de malba tahan, excelente, com vários mistérios da matemática. muitos posts desse blog foram retirados desse livro, ótima leitura. (1,2megas)

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Aonde foi parar o outro R$ 1,00?

Eu,Tu e Ele.... fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00.
Fizemos o seguinte: cada um deu dez mangos...
Eu: R$ 10,00
Tu:: R$ 10,00
Ele:: R$ 10,00
O garçom levou o dinheiro e o dono do restaurante disse o seguinte:
"Esses três já são clientes antigos do restaurante, então vou devolver $5,00 para eles"...
O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um de nós...
No final ficou assim:
Eu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9,00
Tu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Tu gastou R$ 9,00
Ele: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$ 9,00
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três
gastamos juntos, foi R$ 27,00.
E se o garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos:
Nós: R$ 27,00
Garçom: R$ 2,00
_______________________
TOTAL: R$ 29,00
Aonde foi parar o outro R$ 1,00?

15 lotes - o homem que calculava

Este homem que acaba de chegar é um grande matemático. Graças ao seu valioso auxílio já conseguimos obter a solução perfeita de um problema que nos parecia impossível: dividir 35 camelos por três pessoas! Estou certo de que ele poderá explicar em poucos minutos a diferença encontrada na venda dos 60 melões.
Era preciso que Beremiz fosse minuciosamente informado do caso. Um dos mercadores tomou a palavra e narrou o seguinte:
- Os dois irmãos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de melões. Harim entregou-me 30 melões, que deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 dinar; Hamed entregou-me, também, 30 melões para os quais estipulou preço mais caro, isto é, à razão de 2 por 1 dinar. Era claro que, efetuada a venda, Harim devia receber 10 e seu irmão 15 dinares. O total de venda seria, portanto de 25 dinares.
Ao chegar, porém, à feira, uma dúvida surgiu-me no espírito. Se eu começar a venda pelos melões mais caros, pensei, perderei a freguesia; se iniciar o negócio pelos melões mais baratos, encontrarei, depois, dificuldade em vender os outros trinta. O melhor que tenho a fazer (a única solução para o caso) é vender as duas partidas ao mesmo tempo.
Tendo chegado a essa conclusão reuni os 60 melões e comecei a vende-los aos grupos de 5 por 2 dinares. O negócio era justificado por um raciocínio muito simples:
- Se eu devia vender 3 por 1 e depois 2 também por 1 dinar, seria mais simples vender logo 5 por 2 dinares. Vendidos os 60 melões em 12 lotes de cinco cada um, apurei 24 dinares.
- Como pagar aos dois irmãos, se o primeiro devia receber 10 e o segundo 15 dinares?
Havia uma diferença de 1 dinar, não sei como explicar, pois, o negócio foi feito, como disse, com o máximo cuidado. Vender 3 por 1 dinar, e, depois, vender 2 por 1 dinar não é a mesma coisa que vender logo 5 por 2 dinares?
- O caso não teria, afinal, importância alguma – interveio Hamed Namir – se não fosse a intervenção absurda do vequil(5) que superintende a feira. Esse vequil, ouvido sobre o caso, não soube explicar a diferença da conta, e apostou 5 dinares como essa diferença era proveniente de falta de um melão que fora roubado por ocasião da venda.
- O vequil não tem razão alguma – acudiu Beremiz – e deve ser obrigado a pagar a aposta. A diferença a que chegou o vendedor resultou do seguinte:
A partida de Harim compunha-se de 10 lotes de 3 melões cada um. Cada lote devia ser vendido por 1 dinar. O total da venda seria de 10 dinares.
A partida de Hamed compunha-se de 15 lotes (com 2 melões cada um) que, vendido a 1 dinar cada lote, dariam o total de 15 dinares.
Reparem que o número de lotes de uma partida não é igual ao número de lotes da outra.
Para vender os melões em lotes de cinco cada, só os 10 primeiros lotes poderiam ser vendidos à razão de 5 por 2 dinares; vendidos esses 10 lotes, restam ainda 10 melões que pertencem exclusivamente à partida de Hamed, e, que sendo de preço mais elevado, deveriam ser vendidos à razão de 2 por 1 dinar.
A diferença de um resultou, pois, da venda dos 10 últimos melões! Não houve roubo algum! Da desigualdade de preço entre as partilhas resultou o prejuízo de um dinar, que se verificou no resultado final.
Nesse momento fomos obrigados a interromper a reunião. A voz do muezim, cujo eco vibrava no espaço, chamava os fiéis para a prece da tarde!

emprestimo - o homem que calculava

Emprestei certa vez a quantia de 100 dinares, sendo 50 a um xeque de Medina e outros 50 a um judeu do Cairo. O medinense pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:

Pagou 20 ficou devendo 30
Pagou 15 ficou devendo 15
Pagou 10 ficou devendo 5
Pagou 5 ficou devendo 0
Soma 50 Soma 50
Repare, meu amigo que tanto a soma das quantias pagas como a dos saldos devedores são iguais a 50. O judeu cairota pagou, igualmente os 50 dinares em quatro prestações, do seguinte modo:

Pagou 20 ficou devendo 30
Pagou 18 ficou devendo 12
Pagou 3 ficou devendo 9
Pagou 9 ficou devendo 0
Soma 50 Soma 51
Convém observar agora que a primeira soma é 50 (como no caso anterior), ao passo que a outra dá um total de 51.
Não sei explicar essa diferença de 1 que se observa na segunda forma de pagamento. Bem sei que não fui prejudicado (pois recebi o total da dívida), mas como justificar o fato de ser a segunda soma igual a 51 e não a 50?
- Meu amigo – esclareceu Beremiz -, isto se explica com poucas palavras. Nas contas de pagamento, os saldos devedores não tem relação alguma com o total da dívida. Admitamos que uma dívida de 50 fosse paga em três prestações: a 1º de 10, a 2º de 5 e a terceira de 35. Eis a conta, com os saldos:
Pagou 10 ficou devendo 40
Pagou 5 ficou devendo 35
Pagou 35 ficou devendo 0
Soma 50 Soma 75
Neste caso a primeira soma é ainda 50, ao passo que a soma dos saldos é como se vê 75; podia ser 80, 90, 100, 260, 800 ou um número qualquer. Só por acaso dará exatamente 50 (como no caso do xeque) ou 51 (como no caso do judeu).
O mercador alegrou-se por ter entendido a explicação dada por Beremiz e cumpriu a promessa feita, oferecendo o calculista o turbante azul que valia quatro dinares.

divisão dos pães - o homem que calculava

Do nosso encontro com um rico xeque. O xeque estava a morrer de fome no deserto. A proposta que nos fez sobre os 8 pães que trazíamos, e como se resolveu, de modo imprevisto o pagamento com 8 moedas. As três divisões de Beremiz: a divisão simples, a divisão certa e a divisão perfeita. Elogio que um ilustre vizir dirigiu ao Homem que Calculava.
Três dias depois, aproximava-nos das ruínas de pequena aldeia denominada Sippar(1) – quando encontramos caído na estrada, um pobre viajante, roto e ferido.
Socorremos o infeliz e dele próprio ouvimos o relato de sua aventura.
Chamava-se Salém Nasair, e era um dos mais ricos mercadores de Bagdá. Ao regressar, poucos dias antes, de Bácora, com grande caravana pela estrada de el-Hilleh(2), fora atacado por uma chusma de nômades persas do deserto. A caravana foi saqueada e quase todos os seus componentes pereceram nas mãos dos beduínos.
Ele – o chefe – conseguira, milagrosamente escapar oculto na areia, entre os cadáveres dos seus escravos.
E, ao concluir a narrativa de sua desgraça, perguntou-nos com voz angustiosa:
- Trazeis por acaso, ó muçulmanos, alguma coisa que se possa comer? Estou quase, quase a morrer de fome!
- Tenho, de resto, três pães – respondi.
- Trago ainda cinco! – afirmou a meu lado, o Homem que Calculava.
-Pois bem – sugeriu o xeque(3) -, juntemos esses pães e façamos uma sociedade única. Quando chegar a Bagdá prometo pagar com 8 moedas de ouro o pão que comer!
Assim fizemos. No dia seguinte, ao cair da tarde, entramos na célebre cidade de Bagdá, a pérola do Oriente. Ao atravessarmos vistosa praça, demos de rosto com aparatoso cortejo. Na frente marchava em garboso alazão, o poderoso Ibrahim Maluf, um dos vizires(4).
O Vizir ao avistar o xeque Salém Nasair em nossa companhia, chamou-o, e, fazendo parar a sua poderosa guarda, perguntou-lhe:
- Que te aconteceu, ó meu amigo? Por que te vejo chegar a Bagdá, roto e maltrapilho, em companhia de dois homens que não conheço?
O desventurado xeque narrou, minuciosamente, ao poderoso ministro, tudo o que lhe ocorrerá em caminho, fazendo a nosso respeito os maiores elogios.
- Paga sem perda de tempo a esses dois forasteiros – ordenou-lhe o grão-vizir.
E, tirando de sua bolsa 8 moeda de ouro, entregou-as a Salém Nasair, acrescentando:
-Quero levar-te agora mesmo ao palácio, pois, o Comendador dos Crentes deseja com certeza ser informado da nova afronta que os bandidos e beduínos praticaram, matando nossos amigos e saqueando caravanas dentro de nossas fronteiras.
O rico Salém Nasair disse-nos, então;
-Vou deixar-vos, meus amigos. Antes, porém, desejo agradecer-vos o grande auxílio que ontem me prestastes. E para cumprir a palavra dada, vou pagar já o pão que generosamente me destes! E dirigindo-se ao Homem que Calculava disse-lhe:
-Vais receber pelos 5 pães, 5 moedas!
E voltando-se para mim, ajuntou:
-E tu, ó bagdáli, pelos 3 pães, vais receber 3 moedas!
Com grande surpresa, o calculista objetou respeitoso:
-Perdão, ó xeque. A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é matematicamente certa! Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro bagdali, que deu 3 pães, deve receber apenas uma moeda.
-Pelo nome de Maomé!(5) – interveio o vizir Ibrahim, interessado vivamente pelo caso. – Como justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste com 5 pães, por que exiges 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas que lê deve receber uma única moeda?
O Homem que Calculava aproximou-se do prestigioso ministro e assim falou:
-Vou provar-vos, ó Vizir, que a divisão das 8 moedas, pela forma por mim proposta, é matematicamente certa. Quando durante a viajem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços, comendo cada um de nós, um desses pedaços. Se eu dei 5 pães, dei é claro, 15 pedaços; s o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços. Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo, portanto, 8 pedaços para cada um. Dos 15 pedaços que dei, comi 8; dei na realidade, 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços, e, comeu também, 8; logo, deu apenas 1. Os 7 pedaços que eu dei e que o bagdali forneceu formaram os 8 que couberam ao xeque Salém Nasair. Logo, é justo que eu receba 7 moedas e o meu companheiro, apenas uma.
O grão-vizir, depois de fazer os maiores elogios ao Homem que Calculava, ordenou que lhe fossem entregues sete moedas, pois a mim me cabia, por direito, apenas uma. Era lógica, perfeita e irrespondível a demonstração apresentada pelo matemático.
-Esta divisão – retorquiu o calculista – de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente certa, mas não é perfeita aos olhos de Deus!
E tomando as moedas na mão dividiu-as em duas partes iguais. Deu-me uma dessas partes (4 moedas), guardando para si, as quatro restantes.
-Esse homem é extraordinário – declarou o vizir. – Não aceitou a divisão proposta de 8 dinares em duas parcelas de 5 e 3, em que era favorecido; demonstrou ter direito a 7 e que seu companheiro só devia receber um dinar, acabando por dividir as 8 moedas em 2 parcelas iguais, que repartiu, finalmente com o amigo.
E acrescentou com entusiasmo:
-Mac Allah!(6) Esse jovem além de parecer-me um sábio e habilíssimo nos cálculos e na Aritmética, é bom para o amigo e generoso para o companheiro. Tomo-o hoje mesmo para meu secretário!

35 camelos - o homem que calculava

Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por três árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia impossível, contentando plenamente os três querelantes. O lucro inesperado que obtivemos com a transação.
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos perto de um antigo caravançará(1) meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
-Não pode ser!
-Isto é um roubo!
-Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
-Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança esses 35 camelos.
Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a nona parte de 35 também não são exatas?
-É muito simples – atalhou o Homem que Calculava. – Encarrego-me e fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que em boa hora aqui nos trouxe!
Neste ponto, procurei intervir na questão:
-Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viajem se ficássemos sem o camelo?
-Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali! – replicou-me em voz baixa Beremiz – Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal(2), que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
-Vou, meus amigos – disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -, fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, como vêem em número de 36.
E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
-Deverias receber meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
-E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é 11 pouco. Vais receber um terço de 36, isto é 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse por fim ao mais moço:
E tu jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!
E concluiu com a maior segurança e serenidade:
-Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir – partilha em que todos três saíram lucrando – couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4+) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois.
Um pertence como sabem ao bagdáli, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança!
-Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos três irmãos. –Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!
E o astucioso Beremiz – o Homem que Calculava – tomou logo posse de um dos mais belos “jamales” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
-Poderás agora, meu amigo, continuar a viajem no teu camelo manso e seguro! Tenho outro, especialmente para mim!